Question

设函数f（x）=k×2x-2-x是定义域为R的奇函数．

Answer 1

解题思路：（1）利用f（0）=0，求得k的值，再验证函数是奇函数即可，判断y=2^x，y=-2^-x是增函数，即可得到结论；

（2）f[f（x）]＞0，等价于f[f（x）]＞f（0），利用函数的单调性，可得结论；

（3）先换元，再利用配方法，分类讨论，利用函数在[1，+∞）上的最小值为-2，可求m的值．

（1）∵函数f（x）=k×2^x-2^-x是奇函数，∴f（0）=0，∴k×2⁰-2^-0=0，∴k=1．

∴f(x)＝2x−2−x，此时f（-x）=-f（x），满足题意

∵y=2^x是增函数，∴y=-2^-x是增函数，∴f（x）=2^x-2^-x是增函数；

（2）∵f[f（x）]＞0，∴f[f（x）]＞f（0）．

∵f（x）=2^x-2^-x是增函数，∴2^x-2^-x＞0，∴2^x＞2^-x，∴x＞0，∴f[f（x）]＞0的解集是（0，+∞）．

（3）令2^x-2^-x=t，∵x≥1，∴t≥

3

2，y＝t2−2mt+2＝(t−m)2+2−m2(t≥

3

2)，

①当m≥

3

2时，g(x)min＝2−m2，∴2-m²=-2，∴m=2．

②当m＜

3

2时，y在t=[3/2]时取最小值，[9/4−3m+2＝−2，∴m＝

25

12]（舍去）．

综上得m=2．

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题考查函数奇偶性与单调性的结合，考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．