对于任意正整数n,求证:ln(1/2+1/n)>1/n^2-2/n-1

1个回答

  • 证明:令f(x)=ln(1/2+1/x)-(1/x²-2/x-1),

    则f'(x)=1/(1/2+1/x)-(-2/x³+2/x²)

    =(x^4-x+1)/[x³(x+2)]

    令分子部分为g(x)=x^4-x+1,则g'(x)=4x³-1

    ∵n∈N+,取x≥1,则g'(x)≥4-1=3>0

    ∴g(x)在[1,+∞)上为增函数.

    故g(x)≥g(1)=1-1+1=1>0

    ∴f'(x)>0恒成立,f(x)在[1,+∞)上为增函数.

    所以,当x∈N+时,f(x)≥f(1)=ln3/2 -1+2+1=2+ln3/2>0

    即ln(1/2+1/x)-(1/x²-2/x-1)>0恒成立,

    所以,ln(1/2+1/x)>(1/x²-2/x-1),即ln(1/2+1/n)>1/n^2-2/n-1.

    {用导数正,反过来倒回去很罗嗦,关键就是利用增减性,证明导数大于零就行}