Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：

Answer 1

解题思路：（1）要证D是BC的中点，已知AB=AC，即证AD⊥BC即可，根据圆周角定理，AB是直径，所以∠ADB=90°，即可得证．

（2）欲证△BEC∽△ADC，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠AEB=∠ADC=90°，此时，再求另一角对应相等即可．

（3）由△BEC∽△ADC可证CD•BC=AC•CE，又D是BC的中点，AB=AC，即可证BC²=2AB•CE．

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

即AD是底边BC上的高

又∵AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形，

∴D是BC的中点；

（2）∵∠CBE与∠CAD是

DE所对的圆周角，

∴∠CBE=∠CAD，

又∵∠BCE=∠ACD，

∴△BEC∽△ADC；

（3）由△BEC∽△ADC，知[CD/CE]=[AC/BC]，

即CD•BC=AC•CE，

∵D是BC的中点，

∴CD=[1/2]BC，

又∵AB=AC，

∴CD•BC=AC•CE=[1/2]BC•BC=AB•CE，

即BC²=2AB•CE．

点评：

本题考点： 圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查相似三角形的判定和性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等．