解题思路：（1）由AB为⊙O的直径，得：∠ADB=90°，根据MN是⊙O的切线，可知：∠AMN=90°，根据同弧所对的圆周角相等，可知：∠ADC=∠ABC，从而证得：∠CBN=∠CDB；
（2）连接OD、OC，过点O作OE⊥CD于点E，根据圆周角定理，可求得∠BOC和∠DOB的度数，故可知：∠COD的度数，在等腰△OCD中，可将CD的长求出．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，
∵MN切⊙O于点B，
∴∠ABN=∠ABC+∠CBN=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠ABC+∠CBN；
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠CBN=∠CDB；
（2）如图，连接OD、OC，过点O作OE⊥CD于点E；
∵CD平分∠ADB，
∴∠ADC=∠BDC，
∴弧AC=弧BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°；
∵DC是∠ADB的平分线，
∴∠BDC=45°；
∴∠BOC=90°；
又∵∠DAB=15°，
∴∠DOB=30°，
∴∠DOC=120°
∵OD=OC，OE⊥CD，
∴∠DOE=60°
∴∠ODE=30°，
∵OD=2，
∴OE=1，DE=
3，
∴CD=2DE=2
3．
点评：
本题考点： 圆周角定理；切线的性质．
考点点评： 本题主要考查圆周角定理及切线的性质．