Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB= ，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得

Answer 1

（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=

，

∴OB=4，∴B（﹣4，0），B ₁（0，﹣4），A ₂（3，0）．

∵抛物线y=ax ²+bx+c（a≠0）经过点B、B ₁、A ₂，

∴

，解得

∴抛

物线的解析式为：y=

x ²+

x﹣4．

（2）点P是第三象限内抛物线y=

x ²+

x﹣4上的一点，

如答图①，过点P作PC⊥x轴于点C．

设点P的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，n=

m ²+

m﹣4．

于是PC=|n|=﹣n=﹣

m ²﹣

m﹣4，OC=|m|=﹣m，BC=OB﹣OC=|﹣4|﹣|m|=4+m．

S _△PBB1=S _△PBC+S _梯形PB1OC﹣S _△OBB1=

×BC×PC+

×（PC+OB ₁）×OC﹣

×OB×OB ₁=

×（4+m）×（﹣

m ²﹣

m﹣4）+

×[（﹣

m ²﹣

m﹣4）+4]×（﹣m）﹣

×4×4=

m ²﹣

m=

（m+2）2+

当m=﹣2时，△PBB ₁的面积最大，这时，n=

，即点P（﹣2，

）．

（3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x ₀，y ₀），使点Q到线段BB ₁的距离为

．

如答图②，过点Q作QD⊥BB ₁于点D．

由（2）可知，此时△QBB ₁的面积可以表示为：

（x ₀+2）2+

，

在Rt△OBB ₁中，BB ₁=

=

∵S△QBB ₁=

×BB ₁×QD=

×