解题思路：设这个自然数为x，a、b、c为自然数，A为常数，故可得到ax+A=300；bx+A=243；cx+A=205，再把三式相减即可得到（a-b）x=57，（b-c）x=38，（a-c）x=95，把57，38，95分别进行因式分解即可得出结论．
设这个自然数为x，a、b、c为自然数，A为常数
因为这个数除300，243，205时，得到相同的余数
所以ax+A=300（1）；
bx+A=243（2）；
cx+A=205（3）；
（1）-（2）得，（a-b）x=57，
（2）-（3）得，（b-c）x=38，
（1）-（3）得，（a-c）x=95，
因为57=3×19，38=2×19，95=5×19均不可再分，
所以这个数是19，余数为15．
故答案为：19．
点评：
本题考点： 同余定理．
考点点评： 此题也可以这样分析：用一个数去除两个数得到相同的余数，则这两个数的差能被原除数整除，300-243=57，300-205=95，243-205=38，57=3×19，95=5×19，38=2×19，19是57、95、38的公约数，所以这个自然数是19．