(2013•济南二模)已知函数f(x)=13ax3+(a−2)x+c的图象如图所示.

1个回答

  • 解题思路:(1)由题意可得f(0)=3,f′(1)=0,解之可得a,c,可得解析式;

    (2)可得函数g(x)的解析式,问题转化为

    k≥

    2x

    x

    2

    +1

    在区间(0,+∞)上恒成立,只需构造函数

    h(x)=

    2x

    x

    2

    +1

    ,x∈(0,+∞),由基本不等式求最值即可.

    (1)求导数可得f′(x)=ax2+a-2,…(2分)

    由图可知函数f(x)的图象过点(0,3),且f′(1)=0.

    c=3

    2a−2=0,解得

    c=3

    a=1.…(4分)

    ∴f(x)=

    1

    3x3−x+3.…(5分)

    (2)∵g(x)=

    kf′(x)

    x−2lnx=kx−

    k

    x−2lnx,…(6分)

    ∴g′(x)=k+

    k

    x2−

    2

    x=

    kx2+k−2x

    x2.…(8分)

    ∵函数y=g(x)的定义域为(0,+∞),…(9分)

    ∴若函数y=g(x)在其定义域内为单调增函数,

    则函数g'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即kx2+k-2x≥0在区间(0,+∞)上恒成立.…(10分)

    即k≥

    2x

    x2+1在区间(0,+∞)上恒成立.

    令h(x)=

    2x

    x2+1,x∈(0,+∞),

    则h(x)=

    2x

    x2+1=

    2

    x+

    1

    x≤1(当且仅当x=1时取等号).…(12分)

    ∴k≥1.…(13分)

    点评:

    本题考点: 函数的单调性与导数的关系;函数的图象.

    考点点评: 本题考查函数的单调性和导数的关系,涉及恒成立问题,属基础题.