解题思路:(1)由题意可得f(0)=3,f′(1)=0,解之可得a,c,可得解析式;
(2)可得函数g(x)的解析式,问题转化为
k≥
2x
x
2
+1
在区间(0,+∞)上恒成立,只需构造函数
h(x)=
2x
x
2
+1
,x∈(0,+∞),由基本不等式求最值即可.
(1)求导数可得f′(x)=ax2+a-2,…(2分)
由图可知函数f(x)的图象过点(0,3),且f′(1)=0.
得
c=3
2a−2=0,解得
c=3
a=1.…(4分)
∴f(x)=
1
3x3−x+3.…(5分)
(2)∵g(x)=
kf′(x)
x−2lnx=kx−
k
x−2lnx,…(6分)
∴g′(x)=k+
k
x2−
2
x=
kx2+k−2x
x2.…(8分)
∵函数y=g(x)的定义域为(0,+∞),…(9分)
∴若函数y=g(x)在其定义域内为单调增函数,
则函数g'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即kx2+k-2x≥0在区间(0,+∞)上恒成立.…(10分)
即k≥
2x
x2+1在区间(0,+∞)上恒成立.
令h(x)=
2x
x2+1,x∈(0,+∞),
则h(x)=
2x
x2+1=
2
x+
1
x≤1(当且仅当x=1时取等号).…(12分)
∴k≥1.…(13分)
点评:
本题考点: 函数的单调性与导数的关系;函数的图象.
考点点评: 本题考查函数的单调性和导数的关系,涉及恒成立问题,属基础题.