Question

已知函数f（x）=（2x 2 -4ax）lnx+x 2 （a＞0）．

Answer 1

（1）f′（x）=

1

x (2 x 2 -4ax)+lnx(4x-4a)+2x

=4x-4a+lnx（4x-4a）=4（x-a）（lnx+1），（x＞0）．

①若0＜a＜

1

e ，当x∈（0，a），x∈（

1

e ，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（a，

1

e ）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

所以f（x）的单调递增区间是（0，a），（

1

e ，+∞）；单调递减区间是（a，

1

e ）．

②若a=

1

e ，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．

③若a＞

1

e ，当x∈（0，

1

e ），x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（

1

e ，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

所以f（x）的单调递增区间是（0，

1

e ），（a，+∞）；单调递减区间是（

1

e ，a）．

（2）因为x≥1，所以由（2x-4a）lnx＞-x，得

（2x ²-4ax）lnx+x ²＞0，即函数f（x）＞0对x≥1恒成立，

由（Ⅰ）可知，当0＜a≤

1

e 时，f（x）在，[1，+∞）上单调递增，则f（x） _min=f（1）＞0，成立，故0＜a≤

1

e ．

当

1

e ＜a≤1，则f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x） _min=f（1）=1＞0恒成立，符合要求．

当a＞1时，f（x）在（1，a）上单调递减，（a，+∞）上单调递增，则

f（x） _min=f（a）＞0，即（2a ²-4a ²）lna+a ²＞0，1＜a＜

e ．

综上所述，0＜a＜

e ．