Question

设函数f（x）=x（ex-1）+ax2

Answer 1

解题思路：（1）当

a＝−

1

2

时，

f(x)＝x(

e

x

−1)−

1

2

x

2

，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．

（2）f（x）=x（e^x-1）+ax²=x（e^x-1+ax），令g（x）=（e^x-1+ax），x∈[0，+∞），由此利用导数性质能求出a的取值范围．

（1）当a＝−

1

2时，f(x)＝x(ex−1)−

1

2x2，

f'（x）=（e^x-1）+xe^x-x=（x+1）（e^x-1）…（2分）

令f'（x）＞0，得x＜-1或x＞0；

令f'（x）＜0，得-1＜x＜0

所以f（x）的单增区间为（-∞，-1），（0，+∞）；单减区间为（-1，0）．…（5分）

（2）f（x）=x（e^x-1）+ax²=x（e^x-1+ax），

令g（x）=（e^x-1+ax），x∈[0，+∞），

g'（x）=e^x+a，g（0）=0…（7分）

当a≥-1时，g'（x）=e^x+a＞0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，

而g（0）=0，从而当x≥0时，f（x）≥0恒成立．…（9分）

当a＜-1时，令g'（x）=e^x+a=0，得x=ln（-a）．

当x∈（0，ln（-a））时，g'（x）＜0，

g（x）在（0，ln（-a））上是减函数，

而g（0）=0，从而当x∈（0，ln（-a））时，g（x）＜0，即f（x）＜0

综上，a的取值范围是[-1，+∞）…（12分）

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．