解题思路：（1）要证明直线MN∥平面AA1C1C，可用直线和平面平行的判定定理，结合已知M、N分别为A1B和B1C1的中点，想到连接AB1，由三角形的中位线的性质得结论；
（2）要证B1C⊥AC1，由于MN∥AC1，可证B1C⊥MN，结合已知条件证明B1C⊥平面A1BN，则结论得证．
证明：（1）如图，
连接AB1，则M为AB1中点，
又N为B1C1中点，MN∥AC1，AC1⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，
∴直线MN∥平面AA1C1C；
（2）∵BB1⊥平面A1B1C1，∴B1B⊥A1N，
∵A1N⊥B1C1，B1B∩B1C1=B1，
∴A1N⊥平面B1BCC1，
∴A1N⊥B1C，
∵A1B⊥B1C，A1N∩A1B=A1，
∴B1C⊥平面A1BN，
又MN⊂平面A1BN，
∴B1C⊥MN，
∴B1C⊥AC1
点评：
本题考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．
考点点评： 本题考查了直线与平面垂直的判断与性质，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．