Question

（2010•广安）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交

Answer 1

解题思路：（1）连接OC，证明∠OCP=90°即可．

（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出．

（3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长．

（1）证明：连接OC．

∵PC=PF，OA=OC，

∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，

∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，

∴∠AHF=90°，

∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，

∴PC是⊙O的切线．

（2）点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD²=DE•DF，理由如下：

连接AE．

∵点D在劣弧AC中点位置，

∴∠DAF=∠DEA，

∵∠ADE=∠ADE，

∴△DAF∽△DEA，

∴AD：ED=FD：AD，

∴AD²=DE•DF．

（3）连接OD交AC于G．

∵OH=1，AH=2，

∴OA=3，即可得OD=3，

∴DH=

OD2−OH2=

8=2

2．

∵点D在劣弧AC中点位置，

∴AC⊥DO，

∴∠OGA=∠OHD=90°，

在△OGA和△OHD中，

∠OGA＝∠OHD

∠DOA＝∠AOD

OA＝OD，

∴△OGA≌△OHD（AAS），

∴AG=DH，

∴AC=4

2．

点评：

本题考点： 切线的判定；全等三角形的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质．