解题思路:先带着参数求出函数f(x)=lg(ax-kbx)的定义域,为(
log
a
b
k,+∞),因为已知函数的定义域为(0,+∞),所以可知
log
a
b
k=0,求出k值为1.这样函数可化简为f (x)=lg(ax-bx).假设存在适合条件的a,b,使得f(x)恰在(1,+∞)上取正值,且f(3)=lg4,则f (3)=lg(a3-b3)=lg4且lg(ax-bx)>0 对x>1恒成立,根据函数的单调性知,x>1时f (x)>f (1),又因为f(1)=0,所以a-b=1又a3-b3=4,即可求出a,b的值.
解∵ax-kbx>0,即 ([a/b])x>k.
又 a>1>b>0,∴[a/b]>1
∴x>log
a
bk为其定义域满足的条件,
又∵函数f (x) 的定义域恰为(0,+∞),
∴log
a
bk=0,∴k=1.
∴f (x)=lg(ax-bx).
若存在适合条件的a,b,则f (3)=lg(a3-b3)=lg4且lg(ax-bx)>0 对x>1恒成立,
又由题意可知f (x)在(1,+∞)上单调递增.
∴x>1时f (x)>f (1),
由题意可知f (1)=0即a-b=1又a3-b3=4
注意到a>1>b>0,解得a=
5+1
2,b=
5−1
2.
∴存在这样的a,b满足题意.
点评:
本题考点: 对数函数图象与性质的综合应用.
考点点评: 本题主要考查待定系数法求函数解析式,考察了学生的理解力,转化能力以及计算能力.