已知函数f(x)=lg(ax-kbx)(k>0,a>1>b>0)的定义域恰为(0,+∞),是否存在这样的a,b,使得f(

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  • 解题思路:先带着参数求出函数f(x)=lg(ax-kbx)的定义域,为(

    log

    a

    b

    k,+∞),因为已知函数的定义域为(0,+∞),所以可知

    log

    a

    b

    k=0,求出k值为1.这样函数可化简为f (x)=lg(ax-bx).假设存在适合条件的a,b,使得f(x)恰在(1,+∞)上取正值,且f(3)=lg4,则f (3)=lg(a3-b3)=lg4且lg(ax-bx)>0 对x>1恒成立,根据函数的单调性知,x>1时f (x)>f (1),又因为f(1)=0,所以a-b=1又a3-b3=4,即可求出a,b的值.

    解∵ax-kbx>0,即 ([a/b])x>k.

    又 a>1>b>0,∴[a/b]>1

    ∴x>log

    a

    bk为其定义域满足的条件,

    又∵函数f (x) 的定义域恰为(0,+∞),

    ∴log

    a

    bk=0,∴k=1.

    ∴f (x)=lg(ax-bx).

    若存在适合条件的a,b,则f (3)=lg(a3-b3)=lg4且lg(ax-bx)>0 对x>1恒成立,

    又由题意可知f (x)在(1,+∞)上单调递增.

    ∴x>1时f (x)>f (1),

    由题意可知f (1)=0即a-b=1又a3-b3=4

    注意到a>1>b>0,解得a=

    5+1

    2,b=

    5−1

    2.

    ∴存在这样的a,b满足题意.

    点评:

    本题考点: 对数函数图象与性质的综合应用.

    考点点评: 本题主要考查待定系数法求函数解析式,考察了学生的理解力,转化能力以及计算能力.