Question

（2013•湖北模拟）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它

Answer 1

解题思路：（1）由三角形全等可以证明AH=AB，

（2）延长CB至E，使BE=DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB，

（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH=x，则MC=x-2，NC=x-3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．

（1）如图①AH=AB．

（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE=DN．

∵ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，

在Rt△AEB和Rt△AND中，

AB＝AD

∠ABE＝∠ADN

BE＝DN，

∴Rt△AEB≌Rt△AND，

∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，

∴∠EAM=∠NAM=45°，

在△AEM和△ANM中，

AE＝AN

∠EAM＝∠NAM

AM＝AM，

∴△AEM≌△ANM．

∴S_△AEM=S_△ANM，EM=MN，

∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，

∴AB=AH．

（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，

∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．

分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，

由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD．

设AH=x，则MC=x-2，NC=x-3，

在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN²=MC²+NC²

∴5²=（x-2）²+（x-3）²（6分）

解得x₁=6，x₂=-1．（不符合题意，舍去）

∴AH=6．

点评：

本题考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评： 本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，不是很难．