Question

已知数列{an}满足a1=1，an=3n-1+an-1（n≥2）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2），当n=2时可求a₂，n=3时求得a₃

（Ⅱ）利用递推式构造a_n-a_n-1=3^n-1，然后通过累加可求出a_n

（Ⅰ）∵a₁=1，

∴a₂=3+1=4，

∴a₃=3²+4=13；

（Ⅱ）证明：由已知a_n-a_n-1=3^n-1，n≥2

故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁

=3n−1+3n−2+…+3+1＝

3n−1

2．n≥2

当n=1时，也满足上式．

所以an＝

3n−1

2．

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的概念及简单表示法．

考点点评： 本题是个基础题，主要考查由递推式求数列的项和累加法求数列的通项，注意验证n=1．