Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点

Answer 1

（Ⅰ）证明：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁，AC=A₁C₁，连接ED，

可得DE∥AC，DE=[1/2]AC，又F为棱A₁C₁的中点．∴A₁F=DE，A₁F∥DE，

所以A₁DEF是平行四边形，所以EF∥DA₁，

DA₁⊂平面A₁CD，EF⊄平面A₁CD，∴EF∥平面A₁CD

（Ⅱ）证明：∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，

又AA₁⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，

∴AA₁⊥CD，又AA₁∩AB=A，

∴CD⊥面A₁ABB₁，又CD⊂面A₁CD，

∴平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；

（Ⅲ）连结BC₁，A₁B，

∵AC∥A₁C₁，∴∠BC₁A₁是直线BC₁与直线AC所成角，

设棱长为2，由题意知A₁C₁=2，

A₁B=C₁B=

4+4−2×2×2×cos120°=2

3，

∴cos∠BC₁A₁=

4+12−12

2×2×2

3=

3

6．

∴直线BC₁与直线AC所成角的余弦值为

3

6．