Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=lnx-x-3，（x＞0），

∴ f ′ (x)=

1

x -1=

1-x

x ，令f ^′（x）=0，则x=1．

列表如下：

由表可知：f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减．

（2）当a=2时，f（x）=2lnx-2x-3．

令F（x）=h（x）-f（x）=（p-2）x-

p+2e

x -3 -（2lnx-2x-3）=px -

p

x -2lnx-

2e

x ．

①当p≤0时， px-

p

x =p

x 2 -1

x ≤0，

-2e

x -2lnx＜0 ，

∴在[1，e]上不存在x ₀满足F（x）＞0，即h（x ₀）＞f（x ₀）不成立．

②当p＞0时，F ^′（x）=

p x 2 +p+2e-2x

x 2 ，

∵x∈[1，e]，∴2e-2p≥0，∴F ^′（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上单调递增．

∴F（x） _max=F（e）= pe-

p

e -4 ．

故只要 pe-

p

e -4＞0 ，解得 p＞

4e

e 2 -1 ．

所以P的取值范围是 (

4e

e 2 -1 ，+∞) ．