Question

已知1/3≤a≤1,若函数f(x)=ax^2-2x在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M

Answer 1

1

函数f(x)=ax^2-2x的对称轴：x=1/a,因为1/3≤a≤1,所以1≤1/a≤3.判别式delta=4>0

当1≤1/a≤2,即：1/2≤a≤1时,函数对称轴位于1和2之间,此时最小值N(a)=a*(1/a)^2-2/a=-1/a

最大值M(a)=f(3)=9a-6

当2≤1/a≤3,即：1/3≤a≤1/2时,函数对称轴位于2和3之间,此时最小值N(a)=a*(1/a)^2-2/a=-1/a

最大值M(a)=f(1)=a-2

所以g(a)=a-2+1/a,当1/3≤a≤1/2时；g(a)=9a-6+1/a,当1/2≤a≤1时

2

g(a)-t=0有解,实际上是求解g(a)的值域

当1/3≤a≤1/2时,g(a)=a-2+1/a,g’(a)=1-1/a^20,函数此时是增函数

9/2-6+2≤g(a) ≤9-6+1,即：1/2≤g(a) ≤4

综上：a在区间[1/3,1]上时,函数g(a)的范围是[1/2,4]

故g(a)-t=0如果有解t的范围[1/2,4]