Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．

Answer 1

解题思路：（1）利用直三棱柱的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可得出；

（2）由 ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB₁两两垂直．如图建立空间直角坐标系B-xyz．利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角；

（3）利用线面角的夹角公式即可得出．

（1）证明：连接A₁C，交AC₁于点O，连接OD．

由 ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得四边形ACC₁A₁为矩形，O为A₁C的中点．

又D为BC中点，∴OD为△A₁BC中位线，

∴A₁B∥OD．

∵OD⊂平面ADC₁，A₁B⊄平面ADC₁，∴A₁B∥平面ADC₁．

（2）由 ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB₁两两垂直．

如图建立空间直角坐标B-xyz．

设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C₁（2，0，1），D（1，0，0）．

所以

AD＝(1，−2，0)，

AC1＝(2，−2，1)

设平面ADC₁的法向量为

n＝(x，y，z)，则

n•

AD＝0

n•

点评：

本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

考点点评： 熟练掌握直三棱柱的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系B-xyz并利用两个平面的法向量的夹角求二面角、线面角的夹角公式等是解题的关键．．