已知p:∀x>0,x2-ax+1>0,q:a≤2,则p是q的(  )

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  • 解题思路:首先将条件p化简,根据二次函数的单调性结合分类讨论的方法进行化简,可得条件p:∀x>0,x2-ax+1>0,即p:a<2.再结合充分必要性的定义,进行正反推出论证,不难得到正确答案.

    先化简条件p:∀x>0,x2-ax+1>0.

    可化为F(x)=x2-ax+1在(0,+∞)的最小值大于零

    ①当[a/2≤0时,即a≤0时,

    函数F(x)在区间(0,+∞)上为增函数,F(x)min>F(0)=1,不等式显然成立;

    ②当

    a

    2>0时,即a>0时,

    F(x)min=F(

    a

    2])=1-

    a2

    4>0,得0<a<2

    综上所述,条件p:a<2

    由此可得,当条件p:a<2成立时,必定有条件q:a≤2成立,说明充分性成立;

    当条件q:a≤2成立时,有可能a=2,不一定有条件p:a<2成立,因此没有必要性.

    所以p是q的充分不必要条件

    故选A

    点评:

    本题考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.

    考点点评: 本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断,以及二次函数恒成立等知识点,属于中档题.请同学们注意解题过程中的分类讨论和转化化归的数学思想.