解题思路：（I）欲求函数f（x）和g（x）的解析式利用在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用斜率相等列出等式．从而求出a，b．
（Ⅱ）由于F（x）=f（x）-mg（x）=x3+x-2mx2，求出其导数得F'（x）=3x2-4mx+1，原问题等价于3x2-4mx+1≤0在区间[
1
2
，3
]上恒成立，最后利用二次函数的图象与性质解决即得．
（I）f'（x）=3x2+a，g'（x）=4x
f(1)=g(1)
f′(1)=g′(1)]，
1+a=2+b
3+a=4
∴
a=1
b=0
∴f（x）=x3+x，g（x）=2x2
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）-mg（x）=x3+x-2mx2
∴F'（x）=3x2-4mx+1若x∈[[1/2]，3]时，F（x）是减函数，
则3x2-4mx+1≤0恒成立，
得
F′(
1
2)≤0
F′(3)≤0
∴m≥
7
3．
实数m的取值范围m≥
7
3．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本小题主要考查函数解析式的求解及待定系数法、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．