14、 a=14,∠A=60°,b/c=8/5,---b=8c/5.
根据余弦定理：a²=b²+c²-2bc*cosA
14²=(8c/5)²+c²-2(8c/5)c(cos60°)
14²=(64c²/25)+c²-2(8c²/5)(1/2)
14²=89c²/25-8c²/5
14²=49c²/25
14²=(7c/5)²
14=7c/5
c=70/7=10,b=80/5=16.
b边上的高=10(cos60°)=5√3,
∴三角形的面积=16(5√3)/2=40√3.
15、
(b+c)=4-----b²+c²=16-2bc,∠A=2π/3=120°,cos120°=cos(90°+30°)= -sin30°= -1/2
根据余弦定理：a²=b²+c²-2bc*cosA,
12=16-2bc-2bc*cos120°
12=16-2bc-2bc*(-1/2)
12=16-2bc+bc
bc=4
b+c=4
bc=4
解方程组：(4-c)c=4,c²-4c+4=0,(c-2)²=0,c=2,b=2.
∴此三角形是等腰△,a=2√3,b=2,c=2,∠A=120°,∠B=∠C=30°.
a边的高=2sin30°=1,△ABC面积=2√3*1/2=√3.
16、已知：2a=b+c,sin²A=sinBsinC
由正铉定理：sinA/sinB=a/b,sinC/sinA=c/a
sin^2A=sinBsinC,
sinA/sinB=sinC/sinA,
即 a/b=c/a,
a²=bc
2a=b+c,
a=(b+c)/2,代入a²=bc
b²+c²+2bc=4bc,
(b-c)²=0,
b=c,a=(b+c)/2=b,a=b=c
∴三角形是等边三角形