Question

设函数f(x)满足条件f(x+y)=f(x)+f(y) 且f(x)在x=0处连续 证明f(x)

Answer 1

f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)

得f(0)=0

因为f(x)在x=0连续,

于是lim(x→0+)f(x)=0,且lim(x→0-)f(x)=0【后面要用到这两条】

lim(x→x0+)f(x)

=lim(t→0+)f(x0+t)

=lim(t→0+)f(x0)+lim(t→0+)f(t)

=f(x0)+0【用到f(x)在x=0的右极限为0】

=f(x0)

同理可证

lim(x→x0-)f(x)=f(x0)【过程和上面类似】

综上f(x)在任一点x0连续