解题思路：（1）证法1：过MN构造一个平面，使其平行于平面A1CD，则可得MN∥平面A1CD；
证法2：根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面A1CD里面找到一条直线与MN平行即可，因为M、N均为中点，所以构造平行线的时候可以考虑一下构造“中位线”．
（2）首先要作出这个截面，然后通过观察可知，截面将此长方体分成了一个三棱柱与一个四棱柱，接着求出各自的体积，再求出比值即可；或者进一步观察也能发现，这个三棱柱与四棱柱是等高的（因为在长方体中），所以我们其实只要求出它们的底面积的比值就可以了．
（1）证法1：设点P（2）为AD（3）的中点，连接MP，NP（4）．
∵点M是BC的中点，
∴MP∥CD．
∵CD⊂平面A1CD，MP⊄平面A1CD，
∴MP∥平面A1CD．（2分）
∵点N是AA1的中点，
∴NP∥A1D．
∵A1D⊂平面A1CD，NP⊄平面A1CD，
∴NP∥平面A1CD．（4分）
∵MP∩NP=P，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，
∴平面MNP∥平面A1CD．
∵MN⊂平面MNP，
∴MN∥平面A1CD．（6分）
证法2：连接AM并延长AM与DC的延长线交于点P，连接A1P，
∵点M是BC的中点，
∴BM=MC．
∵∠BMA=∠CMP，∠MBA=∠MCP=90°，
∴RtMBA≌RtMCP．（2分）
∴AM=MP．
∵点N是AA1的中点，
∴MN∥A1P．（4分）
∵A1P⊂平面A1CD，MN⊄平面A1CD，
∴MN∥平面A1CD．（6分）
（2） 取BB1的中点Q，连接NQ，CQ，
∵点N是AA1的中点，
∴NQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴NQ∥CD．
∴过N，C，D三点的平面NQCD把长方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分几何体，
其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD，另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1-A1NDD1．（8分）
∴S△QBC=
1
2•QB•BC=
1
2×1×1=
1
2，
∴直三棱柱QBC-NAD的体积V1=S△QBC•AB=
1
2，（10分）
∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=1×1×2=2，
∴直四棱柱B1QCC1-A1NDD1体积V2=V-V1=
3
2．（12分）
∴
V1
V2=
1
2
3
2=[1/3]．
∴所截成的两部分几何体的体积的比值为[1/3]．（14分）
（说明：
V2
V 1=3也给分）
点评：
本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
考点点评： 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力