解题思路：（1）直线与抛物线的交点B与A关于原点对称，即横纵坐标对应互为相反数，即相加为零，这很适用于韦达定理．由其中有涉及顶点，考虑顶点式易得a值．
（2）①直线l：y=kx向上平移k2+1，得直线l′：y=kx+k2+1．根据无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C：y=ax2+bx+1都只有一个交点，得ax2+（b-k）x-k2=0中△=（b-k）2+4ak2=0．这虽然是个方程，但无法求解．这里可以考虑一个数学技巧，既然k取任何值都成立，那么代入最简单的1，2肯定是成立的，所以可以代入试验，进而可求得关于a，b的方程组，则a，b可能的值易得．但要注意答案中，可能有的只能满足k=1，2时，并不满足任意实数k，所以可以再代回△=（b-k）2+4ak2中，若不能使其结果为0，则应舍去．
②求证OP=PQ，那么首先应画出大致的示意图．发现图中几何条件较少，所以考虑用坐标转化求出OP，PQ的值，再进行比较．这里也有数学技巧，讨论动点P在抛物线y=-[1/4]x2+1上，则可设其坐标为（x，-[1/4]x2+1），进而易求OP，PQ．
（1）∵l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，当b=1时有A，B两交点，
∴A，B两点的横坐标满足kx=ax2+x+1，即ax2+（1-k）x+1=0．
∵B与A关于原点对称，
∴0=xA+xB=[k−1/a]，
∴k=1．
∵y=ax2+x+1=a（x+[1/2a]）2+1-[1/4a]，
∴顶点（-[1/2a]，1-[1/4a]）在y=x上，
∴-[1/2a]=1-[1/4a]，
解得 a=-[1/4]．
（2）①∵无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C都只有一个交点，
∴k=1时，k=2时，直线l′与抛物线C都只有一个交点．
当k=1时，l′：y=x+2，
∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b-1）x-1=0，
∵△=（b-1）2+4a=0，
∴（b-1）2+4a=0，
当k=2时，l′：y=2x+5，
∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b-2）x-4=0，
∵△=（b-2）2+16a=0，
∴（b-2）2+16a=0，
∴联立得关于a，b的方程组
(b−1)2+4a＝0
(b−2)2+16a＝0，
解得
a＝−
1
4
b＝0或
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题考查了二次函数、一次函数及图象，图象平移解析式变化，韦达定理及勾股定理等知识，另涉及一些数学技巧，学生解答有一定难度，需要好好理解掌握．