Question

椭圆关于两坐标轴对称,且和直线Y=5-X,X-4Y=10相切,求椭圆方程

Answer 1

设椭圆参数方程为 x=a·cosθ;y=b·sinθ;

则椭圆的切线斜率为(求导)

k=dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)

=(b·cosθ)/(-a·sinθ)

=(-b/a)·cotθ

1.与直线 Y=5-X 相切,则可知:

(-b/a)·cotθ1=-1;

cotθ1=a/b;

则cosθ1=a/√(a^2+b^2);

sinθ1=b/√(a^2+b^2);

则与直线 Y=5-X 的切点为(a^2/√(a^2+b^2);b^2/√(a^2+b^2) )

而切线为 Y=5-X ,则有 b^2/√(a^2+b^2)=5-a^2/√(a^2+b^2)

→(a^2+b^2)/√(a^2+b^2)=5;

即√(a^2+b^2)=5;

a^2+b^2=25.①

2.与直线 X-4Y=10 (斜率为1/4) 相切,则可知:

(-b/a)·cotθ2=1/4;

cotθ2=-a/(4b);

则cosθ2=-a/√(a^2+16b^2);

sinθ2=4b/√(a^2+16b^2);

则与直线 X-4Y=10 的切点为(a^2/√(a^2+16b^2); -4b^2/√(a^2+16b^2) )

而切线为 X-4Y=10 ,则有 a^2/√(a^2+16b^2) + 16b^2/√(a^2+16b^2)=10;

→ (a^2+16b^2)/√(a^2+16b^2)=10;

即 √(a^2+16b^2)=10;

a^2+16b^2=100.②

②-①得:

15b^2=75;

则b^2=5;

则由①得 a^2=25-b^2=20;

则椭圆参数方程为

x=√5·cosθ;y=2√5·sinθ;

直角坐标方程为:

x^2 /5 + y^2 /20 =1.