Question

已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且S3=2S2+1．

Answer 1

解题思路：（1）设公比为q，由题意1+q+q²=2（1+q）+1，由此能求出

a

n

＝

2

n−1

．

（2）由b_n=2n-1+a_n=2n-1+2^n-1，

T

n

＝[1+3+…+(2n−1)]+1+(1+2+

…2

n−1

)

=n²+2ⁿ-1，由此能证明T_n≥2．

（1）设公比为q，由题意：q＞1，a₁=1，

则a₂=q，a3＝q2，

∵S₃=2S₂+1，∴a₁+a₂+a₃=2（a₁+a₂）+1，…（2分）

则1+q+q²=2（1+q）+1，

解得：q=2或q=-1（舍去），

∴an＝2n−1．…（4分）

（2）证明：b_n=2n-1+a_n=2n-1+2^n-1，…（6分）

Tn＝[1+3+…+(2n−1)]+1+(1+2+…2n−1)

=

n[1+(2n−1)]

2+

1−2n

1−2

=n²+2ⁿ-1．…（8分）

又∵Tn＝n2+2n−1在[1，+∞）上是单调递增的，

∴T_n≥T₁=2，

∴T_n≥2．…（10分）

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．