Question

求积分∫（根号（x^2+1))dx以及∫（根号（f'(x)^2+1))dx,其中f'(x)是f(x)的导数

Answer 1

先设x=tant 那么dx=sect^2dt 原式可以改写为∫根号（1+tant^2）sectdt =∫sect*sect^2dt

设u=sect,dv=sect^2dt

于是 上式等于sect*tant-∫sect*tant^2dt=sect*tant-∫sect(sect^2-1)dt=sect*tant-∫sect^3dt+∫sectdt=sect*tant+ln|sect+tant|+c(常数)

移项得2∫sect^3dt=sect*tant+ln|sect+tant|+c

所以∫sect*sect^2dt=1/2(sect*tant+ln|sect+tant|)+c

∫sectdt=ln|sect+tant| 这是公式,不会在问我.

1+tant^2=sect^2 这也是公式.得到上面后把他们全都用原来的代回去.