Question

A,B都是hermite 矩阵,如何证明特征值实数

Answer 1

仅证A即可.

A是Hermite 矩阵,则A^H=A,A^H是A的共轭转置,

设a是A的任意特征值,x是相应特征向量,则

Ax=ax,两边取共轭转置得

x^HA^H=a*x^H,

其中a*是a的共轭复数,两边分别右乘x得

x^HAx=a*x^Hx,由Ax=ax得

ax^Hx=a*x^Hx

由x不为零,x^Hx不为零(>0),故a=a*,一个复数等于它的共轭复数,它必是实数,故a为实数.