Question

已知关于x的方程mx2+2（m+1）x+m=0有两个实数根．

Answer 1

解题思路：（1）若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；

（2）两个实数根的平方和为6，即（α+β）²-2αβ=6，根据一元二次方程的根与系数的关系解答．

（1）由题意，得

△＝4(m+1)2−4m2≥0

m≠0

解之得：m≥-[1/2]且m≠0；

（2）设原方程的两个根为α、β，

则α+β=-

2(m+1)

m，αβ=1．

依题意，得α²+β²=6，

∴（α+β）²-2αβ=6．

即

4(m+1)2

m2-2=6

解之得m₁=1+

2，m₂=1-

2，

由（1）知：m≥-[1/2]且m≠0，

∵1+

2＞-[1/2]，1-

2＞-[1/2]

∴m=1±

2．

点评：

本题考点： 根与系数的关系；一元二次方程的定义；解一元二次方程-公式法；根的判别式．

考点点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

一元二次方程根与系数的关系：xl+x2=-[b/a]；xl•x2=[c/a]．