Question

如图 在三角形ABC中 角ACB=90度 CD垂直于AB于D E是AC上一点 CF垂直于BE于F 求证 EB*DF=AE

Answer 1

设BE和CD交于O

∵CD⊥AB,CF⊥BE

∴∠BDO=∠CFO=90°(∠BDC=∠CFB)

∵∠BOD=∠COF

∴△BOD∽△COF

∴OB/OC=OD/OF

即OB×OF=OD×OC

∴B、C、F、E四点共圆（相交弦逆定理）

∴∠DFB=∠BCD

∵∠ACB=90°

∠BDC=∠BDO=90°

∴∠A=∠BCD(同为∠ACD的余角）

∴∠DFB=∠A

∵∠ABE=∠FBD

∴△ABE∽△FBD

∴DB/EB=DF/AE

即EB×DF=AE×DB