解题思路：（1）m（m+2）=n（n+1）可以变化成（m+1）2=n2+n+1，若存在，则n2+n+1即是一个平方数，即可判断；
（2）当k=3时，利用与（1）相同的方法即可证明；
当k≥4时，可以分k是偶数与奇数两种情况进行讨论，当k是偶数时，可以设k=2t（t是不小于2的整数），代入式子进行讨论；当k是奇数时，可以设k=t+1（t是不小于2的整数），代入即可判断．
（1）答案是否定的．若存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1），则（m+1）2=n2+n+1，显然n＞1，于是n2＜n2+n+1＜（n+1）2，所以，n2+n+1不是平方数，矛盾． （5分）
（2）当k=3时，若存在正整数m，n，满足m（m+3）=n（n+1），则4m2+12m=4n2+4n，（2m+3）2=（2n+1）2+8，（2m+3-2n-1）（2m+3+2n+1）=8，（m-n+1）（m+n+2）=2，而m+n+2＞2，故上式不可能成立． （10分）
当k≥4时，若k=2t（t是不小于2的整数）为偶数，取m=t2-t，n=t2-1则m（m+k）=（t2-t）（t2+t）=t4-t2，
n（n+1）=（t2-1）t2=t4-t2，因此这样的（m，n）满足条件．若k=2t+1（t是不小于2的整数）为奇数，取
m=
t2−t
2，n=
t2+t−2
2则m（m+k）=
t2−t
2（
t2−t
2+2t+1）=[1/4]（t4+2t3-t2-2t），n（n+1）=
t2+t−2
2 •
t2+t
2=[1/4]（t4+2t3-t2-2t），因此这样的（m，n）满足条件．综上所述，当k=3时，答案是否定的；当k≥4时，答案是肯定的．
（15分）
点评：
本题考点： 奇数与偶数；完全平方式；反证法．
考点点评： 本题主要考查了整数的奇偶性，正确对k的范围进行分类，根据k的奇偶性对已知的式子m（m+k）=n（n+1）进行变形是解题的关键．