设所求椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1
因,焦距=4,
即,2c=4,c=2
又,c^2=a^2-b^2=2^2
故,a^2-b^2=4 ------(1)
因,椭圆过P[(2/3)*根号,(-2/3)*根号6]
将P点坐标代入椭圆标准方程中,得：
{[(2/3)*根号6]^2/a^2}+{[(-2/3)*根号6]^2/b^2=1
(8/3)/a^2+(8/3)/b^2=1 ----(2)
将a^2=b^2+4 代入（2）
经过化简、整理后,得到：
3b^4-4b^2-32=0
(3b^2+8)(b^2-4)=0
3b^2+8=0,舍；
b^2-4=0,
故,b^2=4
因,a^2-b^2=4
故,a^2=8
故,所求椭圆的标准方程为：(x^2/8)+(y^2/4)=1
同理,设x^2/b^2+y^2/a^2=1;解得：（x^2/4)+(y^2/8)=1