点A(4,-2),F为y2=8x的焦点,点M在抛物线上移动,当MA+MF取最小值时,点M的坐标是______.

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  • 解题思路:先由抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线方程,把x=4代入抛物线方程判断A点在抛物线内部,设M在抛物线准线方程上射影为M′,根据抛物线的定义可知|MA|+|MF|=|MA|+|M′M|,分析M′,M,A三点共线时,|MA|+|M′M|的值最小,求得其最小值,进而求得|MA|+|MF|取最小值.

    由抛物线方程可知,2p=8,

    ∴抛物线的焦点F(2,0),准线方程为x=-2,

    设M在抛物线准线方程上射影为M′,

    ∵点M到准线的距离与M到焦点距离相等,

    ∴|MA|+|MF|=|MA|+|M′M|,

    当x=4,代入抛物线方程求得y=±4

    2,

    ∴AD点抛物线的内部,

    当M′,M,A三点共线时,|MA|+|M′M|的值最小,此时|MA|+|M′M|=|AM|=6

    此时M的纵坐标为-2,x=[1/2],即M的坐标为([1/2],-2)

    故答案为:([1/2],-2).

    点评:

    本题考点: 抛物线的简单性质.

    考点点评: 本题主要考查了抛物线的基本性质.解题的关键是利用抛物线的定义.