如图,点E是矩形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,G是AF的中点,再连接DG、DE,且DE=DG.

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  • 解题思路:(1)根据直角三角形斜边中线的性质可求出AG=DG,所以∠DAG=∠ADG,再利用矩形的性质和三角形的外角和定理即可证明:∠DEA=2∠AEB;(2)过点作GH⊥DC于H,则∠DCE=∠GFH=3∠AEB=3∠DAE,所以∠DAE+∠GFH=90°,所以4∠DAE=90°,∠DAE=22.5°,进而得到∠DEA=2∠DAE=45°.

    (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

    ∴∠ADF=90°,AD∥BC,

    ∵RT△ADF中,G是AF中点,

    ∴GA=GD=GF

    ∴∠DGF=2∠DAE

    ∵AD∥BE,

    ∴∠AEB=∠DAE,

    ∵DG=DE,

    ∴∠DEA=∠DGF

    ∴∠DEA=2∠AEB;

    (2)过点作GH⊥DC于H,

    ∵AD∥GH,G是AF中点,

    则GH=[1/2]AD=AB=DC,

    又∵DE=DG=GF,

    ∴易证:Rt△GHF≌Rt△DCE,

    ∵∠DEA=2∠AEB,

    ∴∠DCE=∠GFH=3∠AEB=3∠DAE,

    ∵∠DAE+∠GFH=90°,

    ∴4∠DAE=90°,

    ∠DAE=22.5°,

    ∴∠DEA=2∠DAE=45°.

    点评:

    本题考点: 矩形的性质;等腰三角形的性质;直角三角形斜边上的中线.

    考点点评: 本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理,题目的综合性较强,难度不大.