已知函数f(x)=13x3−mx2+32mx,(m>0).

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  • 解题思路:(1)①先求导数fˊ(x)然后在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,fˊ(x)>0的区间为单调增区间,fˊ(x)<0的区间为单调减区间.

    ②因为曲线f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为 f′(0),所以函数f(x)的图象在点(0,0)处切线方程可以用点斜式求得.

    (2)因为函数f(x)既有极大值,又有极小值,则

    f′(x)=

    x

    2

    −2mx+

    3

    2

    m=0

    有两个不同的根,有△>0,再令

    g(x)=f(x)−m

    x

    2

    −(

    3

    2

    m−3

    m

    2

    )x=

    1

    3

    x

    3

    −2m

    x

    2

    +3

    m

    2

    x

    求出导数,利用导数研究它的单调性及最值,从而求得m的取值范围.

    (1)当m=2时,f(x)=

    1

    3x3−2x2+3x,则f'(x)=x2-4x+3,(1分)

    ①令f'(x)=x2-4x+3=0,解得x=1或x=3(2分)

    函数的单调递增区间是:(-∞,1),(3,+∞)函数的单调递减区间是:(1,3)(4分)

    ②f'(0)=3,

    ∴函数y=f(x)的图象在点(0,0)处的切线方程为y=3x.(6分)

    (2)因为函数f(x)既有极大值,又有极小值,则f′(x)=x2−2mx+

    3

    2m=0有两个不同的根,

    则有△=4m2-6m>0,又m>0,∴m>

    3

    2(8分)

    令g(x)=f(x)−mx2−(

    3

    2m−3m2)x=

    1

    3x3−2mx2+3m2x

    g'(x)=x2-4mx+3m2=0⇒x=m,或x=3m,(10分)

    ∴g'(x)>0⇒x<m或x>3m,g'(x)<0⇒m<x<3m

    ∴g(x)在[0,m),(3m,4m]上为增函数,在(m,3m)上为减函数,(12分)

    ∴g(m)=

    4

    3m3,g(3m)=0为g(x)的极值,又g(0)=0,g(4m)=

    4

    3m3,

    ∴g(x)最大值为

    4

    3m3,

    4

    3m3<

    32

    3⇒m<2(13分)m的取值范围为

    3

    2<m<2.(14分)

    点评:

    本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查的是利用导数求曲线的切线方程、函数的单调性,利用导数判断函数的单调性的步骤是:(1)确定函数的定义域;(2)求导数fˊ(x);(3)在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0;(4)确定函数的单调区间.若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论.