若关于x的方程[2k/x−1−xx2−x=kx+1x]只有一个解(相等的解也算作一个),试求k的值与方程的解.

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  • 解题思路:先将分式方程转化为整式方程,把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论,“只有一个解”内涵丰富,在全面分析的基础上求出k的值.

    原方程化为kx2+(2-3k)x-1=0①.

    (1)当k=0时,原方程有一个解,x=[1/2];

    (2)当k≠0时,方程①△=5k2+4(k-1)2>0,总有两个不同的实数根,

    由题意知必有一个根是原方程的增根,从原方程知增根只能是0或1,显然0不是①的根,

    故x=1,得k=[1/2].

    综上可知当k=0时,原方程有一个解,x=[1/2];

    k=[1/2]时,x=-2.

    点评:

    本题考点: 解分式方程.

    考点点评: 本题考查了解分式方程.注意:分式方程转化为整式方程不一定是等价转化,有可能产生增根,分式方程只有一个解,可能是转化后所得的整式方程只有一个解,也可能是转化后的整式方程有两个解,而其中一个是原方程的增根,故分式方程的解的讨论,要运用判别式、增根等知识全面分析.