Question

中心在原点,焦点在x轴上的椭圆,离心率为√2/2,椭圆存在关于点M（2,1）对称的两个点,求焦距取值范围.

Answer 1

离心率为√2/2

a=√2c

a^2=2c^2=b^2+c^2

所以 b=c

设椭圆方程为x^2/2c^2+y^2/c^2=1

任意一点A（√2c*cost,c*sint）

点A关于M（2,1）的对称点A'(x,y)

√2c*cost+x=4

x=4-√2c*cost

c*sint+y=2

y=2-c*sint

点A'在椭圆上

（4-√2c*cost）^2/2c^2+(2-c*sint)^2/c^2=1

整理得

c=3/(√2cost+sint)

=√3/(sin(a+t)) 其中sina=√6/3

所以

c≥√3

2c≥2√3