Question

数学分析波尔查诺定理类型题求助证明对有界序列{xn},存在子序列xnk 使得序列{xnk} {xnk+1} {x2nk}

Answer 1

先取x_n的收敛子列u_k=x_{n_k}

那么此时x_{n_k+1}是一个有界序列,可以找到一个收敛的子序列x_{n_{k_m}+1},相应地,v_m=x_{n_{k_m}}是u_k的子列,而u_k的任何子列都是收敛的

这样就构造出了x_n的子列v_m,使得换算回x的下标之后 {x_{n_t}} {x_{n_{t+1}}} 都收敛

用同样的方法继续在v_m中寻找子列就可以把{x2nk}的收敛性也解决掉