如果方程(x-1)(x2-2x+m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长,那么实数m的取值范围是(  )

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  • 解题思路:方程(x-1)(x2-2x+m)=0的三根是一个三角形三边的长,则方程有一根是1,即方程的一边是1,另两边是方程x2-2x+m=0的两个根,根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.则方程x2-2x+m=0的两个根设是x2和x3,一定是两个正数,且一定有|x2-x3|<1<x2+x3,结合根与系数的关系,以及根的判别式即可确定m的范围.

    ∵方程(x-1)(x2-2x+m)=0的有三根,

    ∴x1=1,x2-2x+m=0有根,方程x2-2x+m=0的△=4-4m≥0,得m≤1.

    又∵原方程有三根,且为三角形的三边长.

    ∴有x2+x3>x1=1,|x2-x3|<x1=1,由根系关系得x2x3=m,x2+x3=2>1成立,;

    当|x2-x3|<1时,两边平方得:(x2+x32-4x2x3<1.

    代入相应数据得4-4m<1.解得,m>[3/4].

    ∴[3/4]<m≤1.

    故选B.

    点评:

    本题考点: 二次函数的性质;余弦定理.

    考点点评: 本题利用了:①一元二次方程的根与系数的关系,②根的判别式与根情况的关系判断,③三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.