解题思路：（1）由f（x）=x有唯一解可知对应的方程有唯一的解可求a，进而可求xn+1与xn的递推关系，构造等差数列可求
（2）由a1=
1/2]，an+1=[1/4]（2+an）2•
2
a
n
2+
a
n
=
(2+
a
n
)
a
n
2
整理可得
1
a
n
+2
＝
1
a
n
−
1
a
n+1
，把已知代入即可得
1
n
x
n
＝
1
a
n
−
1
a
n+1
，然后利用裂项即可求和，进而可证
（1）由f（x）=x得ax2+（2a-1）x=0（a≠0）
∴当且仅当a=
1/2]时，f（x）=x有唯一解x=0，
∴f(x)＝
2x
x+2
当f（x1）=
2x1
2+x1=1得x1=2，由xn+1=f （xn）=
2xn
xn+2可得[1
xn+1−
1
xn＝
1/2]
∴数列{[1
xn}是首项为
1
x1=
1/2]，公差为[1/2]的等差数列
∴[1
xn＝
1/2+
1
2(n−1)＝
1
2n
∴xn＝
2
n]
（2）∵a1=[1/2]，an+1=[1/4]（2+an）2•
2an
2+an=
(2+an)an
2 又a1＝
1
2
∴[1
an+1＝
2
an(2+an)=
1
a
点评：
本题考点： 数列的求和；数列的函数特性；等差数列；数列与不等式的综合．
考点点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解数列的通项公式及数列的裂项求和在不等式中的应用．
1年前
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