解题思路:①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质,利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可;
②由①得OE:EC=OD:AC,再由OD≠AC,可得CE≠OE;
③两三角形中,只有一个公共角的度数相等,其它两角不相等,所以不能证明△ODE∽△ADO;
④根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,求出∠COD=45°,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CDE=45°,再求证△CED∽△CDO,利用其对应变成比例即可得出结论.
∵AB是半圆直径,
∴AO=OD,
∴∠OAD=∠ADO,
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D,
∴∠CAD=∠DAO=[1/2]∠CAB,
∴∠CAD=∠ADO,
∴AC∥OD,故①正确.
由题意得,OD=R,AC=
2R,
∵OE:CE=OD:AC=
2
2,
∴OE≠CE,故②错误;
∵∠OED=∠AOE+∠OAE=90°+22.5°=112.5°,∠AOD=90°+45°=135°,
∴∠OED≠∠AOD,
∴△ODE与△ADO不相似,故③错误;
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D,
∴∠CAD=[1/2]×45°=22.5°,
∴∠COD=45°,
∵AB是半圆直径,
∴OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°(已证),
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°,
∴△CED∽△CDO,
∴[CD/CO]=[CE/CD],
∴CD2=CO•CE=[1/2]AB•CE,
∴2CD2=CE•AB,故④正确.
综上可得①④正确.
故选D.
点评:
本题考点: 圆的综合题.
考点点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形内角和定理等知识点的灵活运用,此题步骤繁琐,但相对而言,难易程度适中,很适合学生的训练是一道典型的题目.