如图,AB是半圆直径,半径OC⊥AB于点O,AD平分∠CAB交弧BC于点D,连结CD、OD,给出以下四个结论:①AC∥O

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  • 解题思路:①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质,利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可;

    ②由①得OE:EC=OD:AC,再由OD≠AC,可得CE≠OE;

    ③两三角形中,只有一个公共角的度数相等,其它两角不相等,所以不能证明△ODE∽△ADO;

    ④根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,求出∠COD=45°,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CDE=45°,再求证△CED∽△CDO,利用其对应变成比例即可得出结论.

    ∵AB是半圆直径,

    ∴AO=OD,

    ∴∠OAD=∠ADO,

    ∵AD平分∠CAB交弧BC于点D,

    ∴∠CAD=∠DAO=[1/2]∠CAB,

    ∴∠CAD=∠ADO,

    ∴AC∥OD,故①正确.

    由题意得,OD=R,AC=

    2R,

    ∵OE:CE=OD:AC=

    2

    2,

    ∴OE≠CE,故②错误;

    ∵∠OED=∠AOE+∠OAE=90°+22.5°=112.5°,∠AOD=90°+45°=135°,

    ∴∠OED≠∠AOD,

    ∴△ODE与△ADO不相似,故③错误;

    ∵AD平分∠CAB交弧BC于点D,

    ∴∠CAD=[1/2]×45°=22.5°,

    ∴∠COD=45°,

    ∵AB是半圆直径,

    ∴OC=OD,

    ∴∠OCD=∠ODC=67.5°

    ∵∠CAD=∠ADO=22.5°(已证),

    ∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°,

    ∴△CED∽△CDO,

    ∴[CD/CO]=[CE/CD],

    ∴CD2=CO•CE=[1/2]AB•CE,

    ∴2CD2=CE•AB,故④正确.

    综上可得①④正确.

    故选D.

    点评:

    本题考点: 圆的综合题.

    考点点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形内角和定理等知识点的灵活运用,此题步骤繁琐,但相对而言,难易程度适中,很适合学生的训练是一道典型的题目.