已知函数f (x)=x3+[3/2](1-a)x2-3ax+1,a>0.

2个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)对f(x)进行求导,利用导数研究函数f(x)的单调性,求得极值点,从而求出f(x)的值域;

    (Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0,+∞)上的最小值为f (a),需要分类讨论:0<a≤1或a>1,对于g(a)的表达式,对其进行求导研究其最值问题;

    (Ⅰ) 由于 f′(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x+1)(x-a),且a>0,

    故f (x)在[0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.

    又f (0)=1,f (a)=-[1/2]a3-[3/2]a2+1=[1/2](1-a)(a+2)2-1.

    当f (a)≥-1时,取p=a.

    此时,当x∈[0,p]时有-1≤f (x)≤1成立.

    当f (a)<-1时,由于f (0)+1=2>0,f (a)+1<0,

    故存在p∈(0,a)使得f (p)+1=0.

    此时,当x∈[0,p]时有-1≤f (x)≤1成立.

    综上,对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1.

    …(7分)

    (Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0,+∞)上的最小值为f (a).

    当0<a≤1时,f (a)≥-1,则g(a)是方程f (p)=1满足p>a的实根,

    即2p2+3(1-a)p-6a=0满足p>a的实根,所以

    g(a)=

    3(a-1)+

    9a2+30a+9

    4.

    又g(a)在(0,1]上单调递增,故

    g(a)max=g(1)=

    3.

    当a>1时,f (a)<-1.

    由于f (0)=1,f (1)=[9/2](1-a)-1<-1,故

    [0,p]⊂[0,1].

    此时,g(a)≤1.

    综上所述,g(a)的最大值为

    3.

    …(14分)

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识,是一道中档题,也是高考的热点问题;