Question

对于函数f(x)＝a−22x+1(a∈R)．

Answer 1

解题思路：（1）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义，可得结论；

（2）根据奇函数的定义，令f（-x）+f（x）=0，根据指数的运算性质，可求出a值．

证明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，

则2x1＜2x2，2x1−2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0

∴f（x₁）-f（x₂）=（a−

2

2x1+1）-（a−

2

2x2+1）=

2

2x2+1-

2

2x1+1=

2(2x1−2x2)

(2x1+1)(2x2+1)＜0

∴f（x₁）＜f（x₂）

∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；

（2）若函数f(x)＝a−

2

2x+1为奇函数

则f（-x）+f（x）=a−

2

2−x+1+a−

2

2x+1=a−

2•2x

2x+1+a−

2

2x+1=2a−

2•(2x+1)

2x+1=2a-2=0

解得a=1

故存在实数a=1使函数f（x）为奇函数

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题考查的知识点是函数的单调性和函数的奇偶性，熟练掌握函数单调性与奇偶性的定义是解答的关键．