Question

（2012•庆元县模拟）定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．

Answer 1

解题思路：（1）过直角顶点作斜边的垂线即可得出两个与原直角三角形相似的三角形．由于这两个三角形都与原三角形共用一个锐角，又都有一个直角，因此有两个对应角相等，因此都与原三角形相似．

（2）由图可知，每分割一次得到的图形的小三角形的个数都是前面一个图形中小三角形的个数的4倍，因此当第n个图时，如果设原三角形的面积为S，那么小三角形的面积应该是S_n=

S

4

n

，

①按所求的公式进行计算，看n是多少时Sn的值在3和4之间．

②S_n=

S

4

n

=

S

2

2n

，S_n-1=

S

4

n−1

=

S

2

2n−2

，S_n+1=

S

4

n+1

=

S

2

2n+2

，由此可看出S_n²=S_n-1•S_n+1

（1）正确画出分割线CD

（如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线．）

理由：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°

∴△BCD∽△ACB；

（2）①△DEF 经N阶分割所得的小三角形的个数为

1

4n

S_n=

1000

4n

当 n=3时，S₃=

1000

S3≈15.62

当 n=4时，S₄=

1000

S4≈3.91

∴当 n=4时，3＜S₄＜4

②∵S_n=

S

4n=

S

22n，S_n-1=

S

4n−1=

S

22n−2，S_n+1=

S

4n+1=

S

22n+2

∴S

2n=S_n-1×S_n+1，S_n-1=4S_n+1．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查的是相似形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．要根据前面几个简单图形得出一般化规律，然后用得出的规律来求解．