如图1,直线AB与双曲线y=k/x(k>0)相交于A、B两点,已知A(3,4),S三角形AOB=7/2

1个回答

  • (1)A(3, 4)在y = k/x上,4 = k/3, k = 12

    (2)OA= √(3²+4²)=5

    设OA上的高,即B与OA的距离为h, S = (1/2)*5*h = 7/2

    h = 7/5

    OA的方程: y = 4x/3, 即4x-3y= 0

    设B(b, 12/b), b < 0

    h = |4b - 3*12/b|/√(3²+4²) = |4b - 36/b|/5 = 7/5

    |4b - 36/b| = 7

    (i) 4b - 36/b = 7

    4b² - 7b - 36 = 0

    (4b -9)(b+4) = 0

    b = 9/4 > 0, 舍去

    b = -4

    B(-4, -3)

    AB的方程: (y+3)/(x+4) = (4+3)/(3+4) = 1

    y = x+1

    (ii)

    4b - 36/b = -7

    4b² + 7b - 36 = 0

    (4b +9)(b-4) = 0

    b = 4 > 0, 舍去

    b = -9/4

    B(-9/4, -16/3)

    AB的方程: (y-4)/(x-3) = (-16/3 -4)/(-9/4 -3) = 16/9

    16x - 9y -12 = 0

    (3)先找双曲线在第一象限内与y = -2x+4 (2x + y - 4 = 0)距离(d)最短的点C(c, 12/c), c > 0. 显然,如果C的纵坐标在[2, 6]内是,线段MN与双曲线相切.

    d = |2c + 12/c -4|/√(2²+1²) = |2c + 12/c -4|√5

    显然2c = 12/c, 即c=√6 (舍去-√6 <0)时,C与直线的距离最短.

    C(√6, 2√6)

    所以,MN向右平移,将在C点处与双曲线相切,此时只有一个公共点. (i)

    MN继续向右平移,公共点将有两个,直到M或N点离开双曲线.此后只有一个公共点,知道M或N中的另一点离开双曲线. (ii)

    y = -2x +4向右平移n个单位时,方程变为 y = -2(x-n)+4

    (i)代入C的坐标, n = 2(√6 -1)

    (ii)

    M向右平移到双曲线上时,6 = 12/x, x= 2, 此时M(2, 6). 代入y = -2(x-n)+4, 6 = -2(2-n)+4

    n = 3

    MN的方程为y = -2x+10

    此时N的横坐标为1+3=4, N的新标坐为(4, 2), 显然在双曲线以下.即n>3时,二者又只有一个公共点.

    继续平移到N在双曲线上时,y = 2, x = 12/2 = 6, N的新坐标为(6, 2). 代入y = -2(x-n) + 4,

    2 = -2(6-n)+4

    n = 5

    解为n = 2(√6 -1)或3