Question

已知函数f（x）=3x，f（a+2）=18，g（x）=3ax-4x．

Answer 1

解题思路：（1）根据指数对数的运算法则，结合f（x）的表达式可算出a=log₃2；

（2）由m^a=1得2^m=3，根据g（x）的表达式得到g（m）=3^am-4^m=（3^a）^m-（2^m）²，再结合（1）中的结论可得g（m）=3-3²=-6；

（3）根据题意得g（x）=2^x-4^x．设2^x=t，然后由-2≤x≤0得

1

4

≤t≤1

，结合二次函数的图象与性质，即可求出g（x）在[-2，0]上的值域．

（1）∵f（x）=3^x，

∴f（a+2）=3^a+2=18，即3^a×3²=18，可得3^a=2，

∴a=log₃2…（4分）；

（2）∵m^a=1，∴m=log₂3，可得2^m=3，…（6分）

∵g（x）=3^ax-4^x，

∴g（m）=3^am-4^m=（3^a）^m-（2^m）²

=2^m-（2^m）²=3-3²=-6；…（8分）

（3）由（1）3^a=2，可得y=g（x）=3^ax-4^x=2^x-4^x，

令2^x=t，（-2≤x≤0），

∵[1/4≤t≤1，…（9分）

∴y＝t−t2＝−(t−

1

2)2+

1

4]，

当t＝

1

2时，ymax＝

1

4，当t=1时，y_min=0，…（11分）

∴g（x）的值域为[0，

1

4]…（12分）

点评：

本题考点： 指数型复合函数的性质及应用．

考点点评： 本题给出含有指数式的二次函数类型，求函数在闭区间上的值域．着重考查了指数对数的运算法则、指数函数的单调性和二次函数在闭区间上的值域求法等知识，属于中档题．