Question

已知数列An：a1，a2，…，an，如果数列Bn：b1，b2，…，bn满足b1=an，bk-1+bk=ak-1+ak（2

Answer 1

解题思路：（1）利用b₁=a₂₀₁₃=1，b_k-1+b_k=a_k-1+a_k（2≤k≤n），寻找规律，可得结论；

（2）利用题意，写出A₄、B₄，结合等比数列，即可求q的值；

（3）由b_k-1+b_k=a_k-1+a_k⇒b_k-a_k=-（b_k-1-a_k-1）同理c_k-b_k=-（c_k-1-b_k-1），所以问题等价于证明a₁，b₁，c₁成等差数列，即可证得结论．

（1）由已知，b₁=a₂₀₁₃=1，b_k-1+b_k=a_k-1+a_k（2≤k≤n），

∴a₂₀₁₂=b₂₀₁₂+b₂₀₁₃-a₂₀₁₃=2012+2013-1=4024，a₂₀₁₁=b₂₀₁₁+b₂₀₁₂-a₂₀₁₂=2011+2012-4024=-1，a₂₀₁₀=b₂₀₁₀+b₂₀₁₁-a₂₀₁₁=2010+2011+1=4022，a₂₀₀₉=b₂₀₀₉+b₂₀₁₀-a₂₀₁₀=2009+2010-4022=-3，…，

∴a₁=-2011-…（3分）

（2）设A4：a，aq，aq2，aq3，则B4：aq3，a(−q3+q+1)，a(q3+q2−1)，a

则

q3+q2−1＝q

−q3+q+1＝q2

q≠1⇒q＝−1…（8分）

（3）证明：由b_k-1+b_k=a_k-1+a_k⇒b_k-a_k=-（b_k-1-a_k-1）

同理c_k-b_k=-（c_k-1-b_k-1），所以问题等价于证明a₁，b₁，c₁成等差数列，

由题意b₁=a₁，b₁+b₂=a₁+a₂，b₂+b₃=a₂+a₃，…，b_n-1+b_n=a_n-1+a_n

将上面第2，4，6，…，n-1个等式两边同乘以-1，

则b₁=a_n，-（b₁+b₂）=-（a₁+a₂），b₂+b₃=a₂+a₃，…，-（b_n-2+b_n-1）=-（a_n-2+a_n-1），（b_n-1+b_n）=a_n-1+a_n

以上n的等式相加得b_n=a_n-a₁+a_n=2a_n-a₁，

因为b₁=a_n，c₁=b_n，所以c₁=2b₁-a₁，即c₁+a₁=2b₁，

所以a₁，b₁，c₁成等差数列，

从而a_k，b_k，c_k成等差数列． …（16分）

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查数列的综合应用，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．