Question

一条直线L过点p（1,4）,分别交x轴,y轴正半轴于A,B两点,O为原点,求|PA|*|PB|取最小时直线L的方程?

Answer 1

设直线L的截距式方程是x/a+y/b=1

则A的坐标是(a,0),B的坐标是(0,b)

|PA|=a,|PB|=b

因为直线过点P(1,4),代入点的坐标得

1/a+4/b=1

由均值不等式得

1≥2√[(1/a)(4/b)]

1≥4√(1/ab)

1/ab≤1/16

ab≥16,当1/a=4/b=1/2,a=2,b=8时取等号

即|PA|*|PB|在a=2,b=8时取最小值

此时直线L的方程是x/2+y/8=1

化为一般式是y=-4x+8