Question

三角函数 不等式 证明：在三角形ABC中,求证：cosA+cosB+cosC

Answer 1

设P=cosA+cosB+cosC.假定a≥b≥c

则2abcP=a(b^2+c^2)-a^3+b(a^2+c^2)-b^3+c(a^2+b^2)-c^3

=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)-a^3-b^3-c^3,(∵a^3+b^3+c^3≥3abc)

≤a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)-2a^3-2b^3-2c^3+3abc

=a^2(b+c-2a)+b^2(a+c-2b)+c^2(a+b-2c)+3abc

≤a^2(b+c-2a)+b^2(2a-c-b)+3abc,[∵b≥c,b^2(a+b-2c)＞c^2(a+b-2c)]

≤a^2(b+c-2a)+a^2(2a-c-b)+3abc=3abc

∴2abcP≤3abc

∴P≤3/2

即cosA+cosB+cosC≤3/2