(1)∵A(-1,0),|OC|=3|OA|
∴C(0,-3)
∵抛物线经过A(-1,0),
C(0,-3)
∴
c=-3
(-1 ) 2 ×a-2a×(-1)+c=0
∴
a=1
c=-3
∴y=x 2-2x-3.
(2)由(1)的抛物线知:点B(3,0);
设直线BC的解析式为:y=kx-3,代入B点坐标,得:
3k-3=0,解得 k=1
∴直线BC的函数表达式为y=x-3.
(3)当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时,设D点的坐标为(m,-2),
根据题意得:-2=m-3,∴m=1.
①当0<t≤1时,正方形和△OBC的重合部分是矩形;
∵OO 1=t,OD=2
∴S 1=2t;
当1<t≤2时,正方形和△OBC的重合部分是五边形,如右图;
∵OB=OC=3,∴△OBC、△D 1GH都是等腰直角三角形,∴D 1G=D 1H=t-1;
S 2=S 矩形DD1O1O-S △D1HG=2t-
1
2 ×(t-1) 2=-
1
2 t 2+3t-
1
2 .
②由①知:
当0<t≤1时,S=2t的最大值为2;
当1<t≤2时,S=-
1
2 t 2+3t-
1
2 =-
1
2 (t-3) 2+4,由于未知数的取值范围在对称轴左侧,且抛物线的开口向下;
∴当t=2时,函数有最大值,且值为 S=-
1
2 +4=
7
2 >2.
综上,当t=2秒时,S有最大值,最大值为
7
2 .
(4)由(2)知:点P(1,-2).假设存在符合条件的点M;
①当AM
∥
. PN时,点N、P的纵坐标相同,即点N的纵坐标为-2,代入抛物线的解析式中有:
x 2-2x-3=-2,解得 x=1±
2 ;
∴AM=NP=
2 ,
∴M 1(-
2 -1,0)、M 2(
2 -1,0).
②当AN
∥
. PM时,平行四边形的对角线PN、AM互相平分;
设M(m,0),则 N(m-2,2),代入抛物线的解析式中,有:
(m-2) 2-2(m-2)-3=2,解得 m=3±
6 ;
∴M 3(3-
6 ,0)、M 4(3+
6 ,0).
综上,存在符合条件的M点,且坐标为:
M 1(-
2 -1,0)、M 2(
2 -1,0)、M 3(3-
6 ,0)、M 4(3+
6 ,0).