已知抛物线y=ax 2 -2ax+c与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,点A的坐标是(-1,0),O是坐标原点,且|O

1个回答

  • (1)∵A(-1,0),|OC|=3|OA|

    ∴C(0,-3)

    ∵抛物线经过A(-1,0),

    C(0,-3)

    c=-3

    (-1 ) 2 ×a-2a×(-1)+c=0

    a=1

    c=-3

    ∴y=x 2-2x-3.

    (2)由(1)的抛物线知:点B(3,0);

    设直线BC的解析式为:y=kx-3,代入B点坐标,得:

    3k-3=0,解得 k=1

    ∴直线BC的函数表达式为y=x-3.

    (3)当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时,设D点的坐标为(m,-2),

    根据题意得:-2=m-3,∴m=1.

    ①当0<t≤1时,正方形和△OBC的重合部分是矩形;

    ∵OO 1=t,OD=2

    ∴S 1=2t;

    当1<t≤2时,正方形和△OBC的重合部分是五边形,如右图;

    ∵OB=OC=3,∴△OBC、△D 1GH都是等腰直角三角形,∴D 1G=D 1H=t-1;

    S 2=S 矩形DD1O1O-S △D1HG=2t-

    1

    2 ×(t-1) 2=-

    1

    2 t 2+3t-

    1

    2 .

    ②由①知:

    当0<t≤1时,S=2t的最大值为2;

    当1<t≤2时,S=-

    1

    2 t 2+3t-

    1

    2 =-

    1

    2 (t-3) 2+4,由于未知数的取值范围在对称轴左侧,且抛物线的开口向下;

    ∴当t=2时,函数有最大值,且值为 S=-

    1

    2 +4=

    7

    2 >2.

    综上,当t=2秒时,S有最大值,最大值为

    7

    2 .

    (4)由(2)知:点P(1,-2).假设存在符合条件的点M;

    ①当AM

    . PN时,点N、P的纵坐标相同,即点N的纵坐标为-2,代入抛物线的解析式中有:

    x 2-2x-3=-2,解得 x=1±

    2 ;

    ∴AM=NP=

    2 ,

    ∴M 1(-

    2 -1,0)、M 2

    2 -1,0).

    ②当AN

    . PM时,平行四边形的对角线PN、AM互相平分;

    设M(m,0),则 N(m-2,2),代入抛物线的解析式中,有:

    (m-2) 2-2(m-2)-3=2,解得 m=3±

    6 ;

    ∴M 3(3-

    6 ,0)、M 4(3+

    6 ,0).

    综上,存在符合条件的M点,且坐标为:

    M 1(-

    2 -1,0)、M 2

    2 -1,0)、M 3(3-

    6 ,0)、M 4(3+

    6 ,0).